jQueryはプラグインの種類も豊富なのでそれだけで事足りることがほとんどではありますが、prototype.js等のライブラリと併用したいというときもたまにあります。
そういう場合に起こるのがライブラリ同士のコンフリクト(衝突)で、$関数がそれぞれで異なる定義をしているために起きてしまうものです。よってこれを何とかしておかないとエラーになってしまいます。

回避方法その1 – $関数ではなくjQuery関数を使う

回避方法その1は$関数ではなくjQuery関数を使う方法です。jQuery関数と$関数は名前が違うだけで中身は同じです。 まず、1行目のjQuery.noConflict();$関数を他のライブラリに開放します。これで$関数が使えなくなるので、代わりとしてjQuery関数を使います。
そのため、jQueryスクリプト内の$はすべてjQueryとする必要があります。

jQuery.noConflict(); //jQueryの$関数が使用出来なくなる

//ここから実行したいスクリプトを書く
jQuery('#sample').click(function() { //$('#sample')は不可

	//$の代わりにjQueryを使う

});

ただこの方法だとすべての$がjQueryとなるために、記述が面倒になり、ファイルサイズも増大します。コードも読みづらくなります。
この方法はおすすめしません。

回避方法その2 – $関数を別の名前で定義する

$関数を別の名前で定義する方法です。

var $j = jQuery.noConflict(); //jQueryの$関数を$jへ変更

//ここから実行したいスクリプトを書く
$j('#sample').click(function() {

	//$の代わりに$jを使う

});

1行目で代わりの名前を定義しています。ここでは$jとしていますが、jとかでもかまいませんが、スクリプトの中で同じ名前の変数や関数を定義することはできません。
しかしこの方法でも方法1に比べて記述が短くなるだけで、ファイルサイズや読みづらさの問題も解決していません。

回避方法その3 – 即時関数の中で$関数を使う

3つめの方法は$を書き換える必要がない方法です。

jQuery.noConflict();

//ここから実行したいスクリプトを書く
(function($) {

$('#sample').click(function() {

	//いつもどおり$が使える

});

})(jQuery);

実行したいスクリプトを4行目の(function($) {と12行目の})(jQuery);で囲む方法です。
この方法だと通常通り$が使えるので$を書き換える必要がなくなります。
3つの方法の中ではこれを一番お勧めします。

JavaScript即時関数

JavaScriptのコードそのものに興味がない方は読む必要はないですが、一応(function($) { })(jQuery);について説明すると、これは即時関数と呼ばれるものです。
関数は通常、呼び出されない限りコードが実行されることはありませんが、この即時関数と呼ばれる書き方だと宣言と同時に実行されます。最初の()内に実行する関数を書き、後ろの()内に引数を指定します。 このとき関数の内側で宣言された変数(上のコードだと引数$)はローカル変数となり、グローバル変数に影響を与えません。

(function($) { //仮引数$にはjQueryが代入される

	//この中の$は、関数の外側の$とは無関係

})(jQuery); //引数にjQueryを入れる

一見すると不思議な書き方に見える即時関数ですが、覚えておくと使い所があるかもしれません。

(function(){ … })()の別の書き方いろいろ – 泥のように
即時関数のいろいろな書き方について書かれていておもしろいです。